Forschung

SS 2015

WS 2014/2015

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Dekorierte Tilings

  • Quasiperiodische Tilings

    Eine quasiperiodische Struktur lässt sich immer als ebener Schnitt durch eine periodische Struktur erhalten. Für jeden Quasikristall existieren dazu geeignete atomare Hyperflächen.

    Oft ist es allerdings einfacher, mit dieser Schnittmethode in einem ersten Schritt ein quasiperiodisches Tiling zu erzeugen, und dieses hinterher in einem zweiten Schritt mit Atomen zu dekorieren. Ein Tiling ist dabei eine Überdeckung des Raumes oder der Ebene mit endlich vielen Sorten von Polytopen oder Polygonen (den Tiles), die sich nur auf dem Rand überlappen dürfen. Im Idealfall werden gleiche Tiles gleich mit Atomen dekoriert. Mindestens sollte die Dekoration nur von einer beschränkten Umgebung des Tiles abhängen. Auch jeder Kristall kann auf diese Weise konstruiert werden: man zerlegt ihn in Einheitszellen, die alle gleich dekoriert werden. Für einen Quasikristall braucht man allerdings mindestens zwei Sorten Tiles.

    Bekannte Modelle, die auch am ITAP verwendet werden, sind das binäre ikosaedrische Modell von Henley und Elser, das binäre dekagonale Modell von Roth und Henley, und das Modell für dekagonales AlCuCo von Zeger. Ein zweidimensionales binäres Modelle wird weiter unten vorgestellt.

  • Random Tilings

    Random-Tiling-Modelle sind eine Variante der oben vorgestellten Dekorationen quasiperiodischer Tilings. Dabei werden nicht mehr perfekt quasiperiodische Tilings dekoriert, sondern zufällige, die aber aus den gleichen Tiles aufgebaut sind. Die Dekoration der einzelnen Tiles ändert sich dabei nicht. Damit dies geht, werden bei Bedarf lokale Bedingungen an die zulässigen Tilings gestellt, die aber noch immer viel Freiheit lassen.

    Random-Tiling-Modelle sind dadurch gerechtfertigt, dass der quasikristalline Zustand ein Maximum der Entropie ist. Dadurch gibt es unglaublich viele Tilings, die ungefähr quasikristallin sind, aber nur ganz wenige andere. Ein zufällige gewähltes Tiling ist deshalb fast sicher ungefähr quasiperiodisch.

    Random Tilings können aus quasiperiodischen erzeugt werden, indem sukzessive lokale Umordnungen der Tiles, sogenannte Flips, durchgeführt werden.

  • Beispiel: Binäre Strukturen in 2 Dimensionen

    Tilings aus zwei Sorten Rhomben, mit spitzem Winkel von 36 oder 72 Grad, die darüber hinaus noch die Eigenschaft haben, dass die Spitzen Winkel der einen Rhomben immer nur auf ebensolche oder auf stumpfe Winkel der anderen treffen, und umgekehrt, werden als Binärtilings bezeichnet. Der Grund ist, dass sie sehr einfach mit zwei Sorten Atomen dekoriert werden können. Es gibt mehrere quasiperiodische Binärtilings, und natürlich auch Random-Tiling-Varianten.

    Eine der quasiperiodischen Varianten lässt sich auch als Dekoration des Tübinger Dreieckstilings auffassen. Diese ist im folgenden Bild links gezeigt. Man beachte, dass gleiche Dreiecke gleich dekoriert sind. Die Atompositionen definieren die Positionen eines Rhombentilings, das der Binärtiling-Bedingung genügt (Bild rechts).

    dekoriertes Dreiecktiling dekorietes Binärtiling

    Dieses und ähnliche Modelle sind wichtige Referenzsysteme für zweidimensionale Simulationen. Sie sind zwar sehr einfach, weisen aber die wesentlichen Eigenschaften von Quasikristallen auf. Ferner konnten solche binäre Strukturen auch durch Abkühlen aus der Schmelze gewonnen werden. Der Grundzustand für ein bestimmtes Verhältnis der beiden Atomsorten ist extrem entartet: alle Binärtilingstrukturen, ob perfekt oder random, besitzen dieselbe Energie, wenn man sich auf Wechselwirkungen nächster Nachbarn beschränkt. Die Flips für dieses Modell sind bekannt, und konnten auch als Ringprozesse in Molekulardynamiksimulationen beobachtet werden.