Forschung

SS 2015

WS 2014/2015

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Topologische Quantenzahlen in der Physik (WS 2013/2014)

Topologische Quantenzahlen in der Physik
Dozent Prof. Dr. Hans-Rainer Trebin
Beginn 16.10.2013
Ort S 6.331 (NWZ II)
Zeit Mittwochs, 9:45 – 11:15 Uhr
Sprache Deutsch
Inhaltsverzeichnis

Topologische Methoden hat man 1976 in der Physik eingesetzt, um Punkt-, Linien oder Wanddefekte in geordneten Medien (das sind z.B. Flüssigkristalle, Supraleiter, Supraflüssigkeiten oder Kristalle) mit Homotopiegruppen zu klassifizieren. Bald darauf wurden die Methoden auch auf elektronische Zustände angewandt, was zur Bezeichnung "Topologische Zustände der Materie" führte. Diese Zustände werden gegenwärtig intensiv theoretisch wie experimentell untersucht. Es handelt sich dabei zumeist um Isolatoren, die leitende Oberflächenzustände besitzen. Prototyp ist hierbei der von von Klitzing im Jahr 1980 entdeckte Quanten-Hall-Effekt.

Die theoretische Beschreibung geht hierbei von den Begriffen der Berry-Phase und des Faserbündels aus. Die Berry-Phase ist eine solche, die zusätzlich zur dynamischen Phase auftritt, wenn man einen zyklischen adiabatischen Transport z.B. mit veränderlichem Magnetfeld durchführt. Der adiabatische Transport kann als Paralleltransport in einem Vektorbündel aufgefasst werden. Basisraum ist hierbei der Parameterraum (im Beispiel der Raum der Magnetfelder), Faser der Vektorraum der elektronischen Grundzustände des Systems. Die Berry-Phase ist Folge einer Krümmung im Bündel. Integrale über Polynome im Krümmungstensor führen zu ganzen topologischen Quantenzahlen, den Chern-Zahlen. Bei topologischen Isolatoren ist der Basisraum die Brillouin-Zone, also ein Torus. Die topologischen Quantenzahlen stimmen überein mit den Homotopiegruppen von Abbildungen des Torus in den Faserraum.

Ziel der Vorlesung ist es, die Studierenden an die mathematischen Grundlagen heranzuführen, und zwar von Anfang an. Die mathematische Ausbildung des Bachelor-Studiengangs in Physik ist ausreichende Voraussetzung. Es werden behandelt: Tensoren, Formen, äußeres Produkt, Differentiale und äußere Ableitungen, Mannigfaltigkeiten, Tangential-, Prinzipal- und Vektorbündel, Kohomologiegruppen, charakteristische Klassen, Index-Theoreme. Wegen der Fülle des Stoffes ist es oftmals unvermeidlich, von der mathematischen Strenge abzuweichen und intuitiv zu argumentieren.

Die Vorlesung wird nicht von Übungen begleitet. Es ist eine Spezialvorlesung, welche Ergänzungsstoff bietet zur Pflichtvorlesung "Fortgeschrittene Vielteilchentheorie" und zur Wahlpflichtvorlesung "Fortgeschrittene Kontinuumsphysik".

Übungen Keine
Literaturhinweise
  • M. Nakahara, "Geometry, Topology and Physics"
    Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia 1992
  • A. S. Schwarz, "Topology for Physicists", Springer 1996
  • H. Eschrig, "Topology and Geometry for Physics", Springer 2011
  • D. J. Thouless, "Topological Quantum Numbers in Nonrelativistic Physics", World Scientific 1998
  • P. Phillips, "Advanced Solid State Physics", Kap. 15, Cambridge University Press 2012
  • M. Z. Hasan, C. L. Kane "Colloquium: Topological Insulators",
    Reviews of Modern Physics, Volume 82, October-December 2012, p. 3045-3067
  • J. C. Budich, B. Trauzettel,
    "From the adiabatic theorem of quantum mechanics to topological states of matter",
    Phys. Status Solidi RRL, 1-21 (2012)